黎曼流体

编辑:鉴定网互动百科 时间:2019-11-12 21:30:47
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黎曼流形(Riemannian manifold)是一个微分流形,其中每点 p 的切空间都定义了点积,而且其数值随 p 平滑地改变。它容许我们定义弧线长度,角度,面积,体积,曲率,函数梯度及向量域的散度
每个R的平滑子流形可以导出黎曼度量: 把R的点积都限制于切空间内。实际上,根据纳什嵌入定理, 所有黎曼流形都可以这样产生。
我们可以定义黎曼流形为和R的平滑子流形是等距同构度量空间,等距是指其内蕴度量(intrinsic metric)和上述从R导出的度量是相同的。 这对建立黎曼几何是很有用的。
中文名
黎曼流体
外文名
Riemannian manifold
别    称
黎曼流形
简    介
一个微分流形
黎曼流形可以定义为平滑流形,其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面。它可产生度量空间:
如果 γ : [a, b] → M 是黎曼流形M中一段连续可微分的弧线,我们可以定义它的长度L(γ) 为
(注意:γ'(t) 是切空间M在γ(t)点的元素; ||·||是切空间的内积所得出的范数。)
使用这个长度的定义,每个连通的黎曼流形M很自然的成为一个度量空间(甚至是长度度量空间):在xy两点之间的距离 d(x, y) 定义为:
d(x,y) = inf{ L(γ) : γ 是连接xy的一条光滑曲线}。 虽然黎曼流形通常是弯曲的,“直线”的概念依然存在:那就是测地线.
在黎曼流形中,测地线完备的概念,和拓扑完备及度量完备是等价的:每个完备性都可以推出其他的完备性,这就是Hopf-Rinow定理的内容.。
词条标签:
理学