黎曼设想

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黎曼设想又称黎曼猜想。这是1859年由德国大数学家黎曼提出的几个猜想之一,这个猜想指黎曼函数。

黎曼设想猜想·黎曼函数

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在数学中我们碰到过许多函数,最常见的是多项式和三角函数。多项式 的零点也就是代数方程 =0的根。根据代数基本定理,n次代数方程有n个根,它们可以是实根也可以是复根。因此,多项式函数有两种表示方法,即
当s为大于1的实数时, 为收敛的无穷级数欧拉仿照多项式情形把它表示为乘积的情形,这时是无穷乘积,而且也不是零点的形式:
但是,这样的 用处不大,黎曼把它开拓到整个复数平面,成为复变量s就包含非常多的信息。正如多项式的情形一样,函数的信息大部分包含在其零点的信息当中,因此, 的零点就成为大家关心的头等大事。 有两类零点,一类是s=-2,-4,…-2n,…时的实零点,称为平凡零点;一类是复零点。黎曼猜想就是讲,这些复零点的实部都是,也就是所有复零点都在 这条直线(后称为临界线)上。
这个看起来简单的问题并不容易。从历史上看,求多项式的的零点特别是求代数方程的复根都不是简单的问题。一个特殊函数的零点也不太容易找到。在85年前,哈代首先证明这条临界线上有无穷多个零点。10年前我们知道有2/5的复零点都在这条线上,而且这条线外至今也没有发现复零点,因此,黎曼猜想是对是错还在未定之中。
这个简单的特殊函数在数学上有重大意义,正因为如此,黎曼猜想总是被当成数一数二的重要猜想。在这个猜想上稍有突破,就有不少重大成果。200年前高斯提出的素数定理就是在100年前由于黎曼猜想的一个重大突破而证明的。当时只是证明复零点都在临界线附近,如果黎曼猜想被完全证明,整个解析数论将取得全面进展。
更重要的是,在代数数论、代数几何、微分几何、动力系统理论等学科中都引入各种 函数和它们的推广L函数,它们各有相应的“黎曼猜想”,其中有的黎曼猜想已经得到证明,使得该分支获得突破性的进展。可以设想,黎曼猜想及其各种推广是21世纪的中心的问题之一。
黎曼猜想,即素数的分布最终归结为所谓的黎曼ζ函数的零点问题。
Riemann 猜想究竟是一个什么样的猜想呢? 在回答这个问题之前我们先得介绍一个函数: Riemann ζ 函数。 这个函数虽然挂着 Riemann 的大名, 其实并不是 Riemann 首先提出的。 但 Riemann 虽然不是这一函数的提出者, 他的工作却大大加深了人们对这一函数的理解, 为其在数学与物理上的广泛应用奠定了基础。 后人为了纪念 Riemann 的卓越贡献, 就用他的名字命名了这一函数。
那么究竟什么是 Riemann ζ 函数呢? Riemann ζ 函数 ζ(s) 是级数表达式 (n 为正整数)
ζ(s) = ∑n n-s (Re(s) > 1)
复平面上的解析延拓。 之所以要对这一表达式进行解析延拓, 是因为 - 如我们已经注明的 - 这一表达式只适用于复平面上 s 的实部 Re(s) > 1 的区域 (否则级数不收敛)。 Riemann 找到了这一表达式的解析延拓 (当然 Riemann 没有使用 “解析延拓” 这样的现代复变函数论术语)。 运用路径积分, 解析延拓后的 Riemann ζ 函数可以表示为:如右上角图
式中的积分实际是一个环绕正实轴 (即从 +∞ 出发, 沿实轴上方积分至原点附近, 环绕原点积分至实轴下方, 再沿实轴下方积分至 +∞ - 离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0) 进行的围道积分; 式中的 Γ 函数 Γ(s) 是阶乘函数在复平面上的推广, 对于正整数 s>1: Γ(s)=(s-1)!。 可以证明, 这一积分表达式除了在 s=1 处有一个简单极点外在整个复平面上解析。 这就是 Riemann ζ 函数的完整定义。

黎曼设想黎曼猜想

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运用右上角图中的积分表达式可以证明, Riemann ζ 函数满足以下代数关系式:
ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s)
从这个关系式中不难发现, Riemann ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数) 取值为零 - 因为 sin(πs/2) 为零[注三]。 复平面上的这种使 Riemann ζ 函数取值为零的点被称为 Riemann ζ 函数的零点。 因此 s=-2n (n 为正整数) 是 Riemann ζ 函数的零点。 这些零点分布有序、 性质简单, 被称为 Riemann ζ 函数的平凡零点 (trivial zeros)。 除了这些平凡零点外, Riemann ζ 函数还有许多其它零点, 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂, 被称为非平凡零点 (non-trivial zeros) 。 对 Riemann ζ 函数非平凡零点的研究构成了现代数学中最艰深的课题之一。Riemann 猜想就是一个关于这些非平凡零点的猜想。
Riemann 猜想: Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。
这就是 Riemann 猜想的内容, 它是 Riemann 在 1859 年提出的。从其表述上看, Riemann 猜想似乎是一个纯粹的复变函数命题,但它其实却是一曲有关素数分布的神秘乐章。
证明黎曼猜想的尝试
黎曼1859年在他的论文 Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe' 中提及了这个著名的猜想,但它并非该论文的中心目的,他也没有试图给出证明。黎曼知道ζ函数的不平凡零点对称地分布在直线s = ½ + it上,以及他知道它所有的不平凡零点一定位于区域0 ≤ Re(s) ≤ 1中。
1896年,雅克·阿达马和 Charles Jean de la Vallée-Poussin 分别独立地证明了在直线Re(s) = 1上没有零点。连同了黎曼对于不非凡零点已经证明了的其他特性,这显示了所有不平凡零点一定处于区域0 < Re(s) < 1上。这是素数定理第一个完整证明中很关键的一步。
1900年,大卫·希尔伯特将黎曼猜想包括在他著名的23条问题中,黎曼猜想与哥德巴赫猜想一起组成了希尔伯特名单上第8号问题。当被问及若他一觉醒来已是五百年后他将做什么时,希尔伯特有名地说过他的第一个问题将是黎曼猜想有否被证明。(Derbyshire 2003:197; Sabbagh 2003:69; Bollobas 1986:16). 黎曼猜想是希尔伯特问题中唯一一个被收入克雷数学研究所的千禧年大奖数学难题的。
1914年,高德菲·哈罗德·哈代证明了有无限个零点在直线Re(s) = &frac12;上。然而仍然有可能有无限个不平凡零点位于其它地方(而且有可能是最主要的零点)。后来哈代与约翰·恩瑟·李特尔伍德在1921年及塞尔伯格在1942年的工作(临界线定理)也就是计算零点在临界线 Re(s) = &frac12; 上的平均密度。
近几十年的工作集中于清楚的计算大量零点的位置(希望借此能找到一个反例)以及对处于临界线以外零点数目的比例置一上界(希望能把上界降至零)。
过去数十年很多数学家队伍声称证明了黎曼猜想,而截至2007年为止有少量的证明还没被验证。但它们都被数学社群所质疑,而专家们多数并不相信它们是正确的。艾希特大学的 Matthew R. Watkins 为这些或严肃或荒唐的声明编辑了一份列表,而一些其它声称的证明可在arXiv数据库中找到。
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